I Vice Presidenti, i Senatori Questori e i Senatori Segretari costituiscono, sotto la presidenza del Presidente del Senato, il Consiglio di Presidenza, cui spettano i massimi poteri decisionali in materia amministrativa e disciplinare.
Subito dopo essersi insediato, il Senato elegge il proprio Presidente e, nella seduta successiva, l'Assemblea procede all'elezione di quattro Vice Presidenti (i quali sostituiscono a turno il Presidente nello svolgimento delle sue funzioni in ogni caso in cui egli non possa svolgerle, come ad esempio alla guida dei dibattiti in aula), di tre Senatori Questori (i quali sono gli amministratori del Senato e i responsabili del buon funzionamento dei vari servizi, del cerimoniale, della polizia interna e delle spese del Senato) e di otto (il numero può aumentare per rappresentare tutti i gruppi parlamentari) Senatori Segretari (i quali aiutano il Presidente nelle sedute, leggendo i testi legislativi, verificando i risultati delle votazioni, controllando i resoconti delle sedute e così via).
Il Consiglio di Presidenza così costituito nomina il Segretario generale del Senato, dal quale dipendono tutti gli uffici del Senato.